Question

问一道高等代数题目？

（m,n）是指m,n的最大公因式

Answer 1

证明
（1）设x^d - 1 | x^m - 1
那么由定理值d | m
x^d - 1 | x^n - 1
所以 d | n
所以 d | (m,n)
而有定理可以知道，当 d = (m,n)的时候，x^d - 1 | x^m - 1和x^d - 1 | x^n - 1
所以 x^(m,n) - 1 | (x^m - 1 , x^n - 1 )
也就是x^(m,n) - 1是x^m - 1 , x^n - 1最大公因式的因子

下面证明x^(m,n) - 1是最大公约数

（2）
设x^m - 1 = (x^d-1)f(x)
x^n - 1 = (x^d-1)g(x)
并且g(x)和f(x)互质，那么x^d-1是最大公因式
不妨设m>n那么x^m-x^n = (x^d-1)(f(x)-g(x)
x^n(x^(m-n) - 1) = (x^d-1)(f(x)-g(x))
所以x^d-1 | x^n 或x^d-1 | x^(m-n) - 1
而x^d-1 | x^n显然不可能
所x^d-1 | x^(m-n)-1
同理重复这个过程，有辗转相除法可以知道
x^d - 1 | x^(m,n) - 1
也就是最大公因式是x^(m,n) - 1的因子

由（1）和（2）可以得到(x^m - 1 , x^n - 1 ) = x^(m , n) - 1