Question

圆C经过定点A(-2，0),B(0，2)且圆心C在直线y=x上，又直线L：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点，（1）求圆C方程

（2）OP向量和OQ向量数量积等于-2，求实数k的值

Answer 1

1）设圆心C（a，a），半径 r ，
则 (a+2)^2+a^2=r^2 ，且 a^2+(a-2)^2=r^2 ，
解得 a=0 ，r=2 ，
因此圆C的方程为 x^2+y^2=4 。
2）将 y=kx+1 代入圆的方程得 x^2+(kx+1)^2=4 ，
化简得 (k^2+1)x^2+2kx-3=0 ，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 x1+x2= -2k/(k^2+1) ，x1*x2= -3/(k^2+1) ，
因此 y1*y2=(kx1+1)(kx2+1)=k^2x1*x2+k(x1+x2)+1= -3k^2/(k^2+1)-2k^2/(k^2+1)+1 ，
由已知OP*OQ= -2 ，
即 x1*x2+y1*y2= -2 ，
因此 -3/(k^2+1)-3k^2/(k^2+1)-2k^2/(k^2+1)+1= -2 ，
化简得 k^2=0 ，
解得 k=0 。