Question

在直角三角形ABD中,∠ABC=∠BCD=90度,AB=BC=10,点M在BC上,要使三角形ADM为等边三角形，则CD的长为

Answer 1

分析：补成正方形，相当于正方形中的内接正三角形，毫无疑问有：△ABM≌△AED，△CDM为等腰直角三角形，设MB=x，由勾股定理可得x的值．

解：过A点作AE⊥CD交CD的延长线于E．

 

∵∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，
∴四边形ABCE是正方形．
∵△ADM是正三角形，
∴Rt△ABM≌Rt△AED，
∴∠ADE=∠AMB，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM，
设MB=x，则ED=x，CD=CM=10-x．
得102+x2=2（10-x）2
解得x=20-10√ 3 ，x=20+10 √3 （不合题意舍去）

————————————舍去原因：因为AB长才10，CD=x怎么可能比10长，所以舍去
∴CD=CM=10-x=10√ 3 -10

Answer 2

方法一画图，可知CD<AB，过点A作AE垂直CD延长线于E，那么AE=BC=10,CE=AB=10
RT△ABM与RT△AED中，AB=AE=10,AM=AD，所以两个三角形全等，得到BM=ED.
设BM=ED=x，那么CM=BC-BM=10-x，CD=CE-ED=10-x，即△CMD是等腰直角三角形。
AM^2=AB^2+BM^2,MD^2=CM^2+CD^2，由AM=MD，得到AB^2+BM^2=CM^2+CD^2，即100+x^2=2(10-x)^2，化简x^2-40x+100=0解得x=20-10√3,所以：CD=10-x=10√3-10方法二设CD=a,BM=x,则可得AD^2=10^2+(10-a)^2;AM^2=10^2+x^2；MD=a^2+(10-x)^2 又AMD为等边则AM=MD=AD 所以有上述方程可得关于ax的两个方程 可解的a=10√3 -10 即CD=
10√3 -10

追问

由x^2-40x+100=0解得的两个根为什么舍掉一个