Question

已知f(x)=3cos^2(wx)+(根号3)sinwxcoswx+a(w>0),且函数f(x)图像相邻两条对称轴间的距离为π/2

（1）求w的值
（2）若当x属于[π/6,5π/12]时，f(x)的最小值为2，求a的值
（3）求该函数在区间[0,π/2]上的减区间
尤其是第三问，请详解

Answer 1

已知f(x)=3cos^2(wx)+(根号3)sinwxcoswx+a(w>0),且函数f(x)图像相邻两条对称轴间的距离为π/2
(1)求w的值
（2）若当x属于[π/6,5π/12]时，f(x)的最小值为2，求a的值
（3）求该函数在区间[0,π/2]上的减区间
尤其是第三问，请详解
(1)解析：∵f(x)=3cos^2(wx)+(根号3)sinwxcoswx+a=3/2(1+cos2wx)+√3/2 sin2wx+a
= 3/2+√3sin(2wx+pi/3)+a
∵f(x)图像相邻两条对称轴间的距离为π/2
∴周期为π，2w=2==>w=1
(2)解析：∵f(x)= √3sin(2x+pi/3)+a+3/2
2kπ-π/2<=2x+pi/3<=2kπ+π/2==>kπ-5π/12<=x<=kπ+π/12，函数单调增；
Kπ+π/12<=x<=kπ+7π/12，函数单调减；
∵x属于[π/6,5π/12]时，f(x)的最小值为2
f(π/6)= √3/2+a+3/2，f(5π/12)=-√3/2+a+3/2
-√3/2+a+3/2=2==>a=(√3+1)/2
(3)解析：∵区间[0,π/2]
该函数在区间[0,π/2]上的减区间为[π/12,π/2]

Answer 2

f(x) = 3/2 (1+cos2wx) + sqrt(3)/2 sin2wx + a
= 3/2 + sqrt(3) sin(2wx + pi/3) + a
周期为pi/2
所以w = 2
2. x=pi/6, 2wx+pi/3 = pi
x = 5pi/12, 2wx +pi/3 = 2pi
sin(2wx+pi/3) 在[π/6,5π/12]的最小值为-1
3/2 -sqrt(3)+a = 2, a = sqrt(3) + 1/2

3. 2wx + pi/3 在[pi/2,3pi/2]时为减
减区间
为

[pi/24,7pi/24]