Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数），x∈R，F（x)={f(x)(x＞0）或-f(x)（x＜0）}

（1）若f（-1）=0且函数f(x)的值域为[0，+∞），求F（x)的表达式
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数kx的取值范围
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f(x)为偶函数，判断F（m)+F（n)能否大于零

Answer 1

(1)根据题目条件：
知道二次函数的开口向上，且顶点坐标是（-1，0）
即两根之积为 1/a=1 所以 a=1 ,-b/a=-2 b=2
f(x)=x^2+2x+1
F(x)=x^2+2x+1 x>0
F(x)=-(x^2+2x+1) x<0
(2)当x属于[-2,2]，g(x)=f(x)-kx=x^2+(2-k)x+1 是增函数，必须对称轴是在区间以左， 即
(k-2)/2 =<-2 k<=-2
若是减函数 需要 对称轴在区间以右 ，(k-2)/2>=2 k>=6
综上 k<=-2 或 k>=6
(3)f(x)是偶函数，则必然有b=0
f(x)=ax^2+1
根据条件 mn<0,m+n>0 ，知道 m n异号
不妨设 m是正数，n是负数
因为f(x)是偶函数，可以得知f(-x)=f(x)
F(n)=-f(n)=-f(-n)
因为a>0 且函数对称轴是x=0
F(m)+F(n)=f(m)-f(-n)
由于 m+n>0 所以 m>-n>0
而f(m)在大于0区间是增函数，所以 f(m)-f(-n)>0
即F(m)+F(n）>0