Question

已知函数f(x)=x^2+ax+3,当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围

已知函数f(x)=x^2+ax+3,当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围

Answer 1

函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a／2，依题意得
①当-a／2≤-2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(-2)=4-2a+3≥a，无解
②当-2＜-a／2＜2，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(-a／2)≥a，得-4＜a≤2
③当-a／2≥2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(2)=4+2a+3≥a，得-7≤a≤-4
综上所述得：-7≤a≤2

Answer 2

利用图像，f（x）恒过点（0,3），分情况讨论
（1）当a≥4时，对称轴在-2的左边，又因为开口向上，所以当x=-2时取得最小值，
f(x)min=f（-2）=7-2a≥a，得到7/3≥a，又因为a≥4，无解
（2）当-4≥a，同理当x=2时取得最小值，
f(x)min=f（2）=7+2a≥a，得到a≥-7，又因为-4≥a，所以-4≥a≥-7
（3）当a∈（-4,4）时，对称轴在-2到2之间，所以最小值是顶点，
f(x)=（x+a/2）^2+3-a^2/4,此时f(x)min=3-a^2/4≥a，得到a∈[-6,2]，又因为a∈（-4,4）
所以a∈（-4,2]
综上所述a的取值范围是a∈[-7,2]

Answer 3

讨论一下即可：
当a/-2小于等于-2的时候，此时f（-2）大于等于a即可
此时无解

当a/-2大于-2小于等于2的时候，此时a大于等于-4小于等于2

当a/-2大于2的时候，此时f（2）大于a即可，得到a大于等于-7

综上所述a大于等于-7小于等于2即可