Question

用泰勒公式求极限应该怎么做？

比如说，lim(x–>0){1+1/2(x^2)-(1+x^2)^(1/2)}/{(cosx-e^(x^2))sin(x^2)}怎么破？

Answer 1

就是记住那五六个基本函数的展开式，遇到类似的函数极限时，如果等价无穷小和罗比达法则什么的不好用或者较复杂时，可以考虑泰勒级数展开求极限，至于展开到几阶，一般视分子或者分母而定，如果是两个相加或者相减函数的展开，那么就是展开，遇到系数不为零的那个无穷小出现为止。
lim(x–>0){1+1/2(x^2)-(1+x^2)^(1/2)}/{(cosx-e^(x^2))sin(x^2)}
首先分子中的(1+x^2)^(1/2)这一项需要进行展开，由于分子中还有1+1/2(x^2)这一项，所以你只需要把他展开到x的4次项就可以了。这也就是我前面所讲的展开到系数不为零的那一项出现为止
然后，由于分子等价于x^4/8，所以分母也往这个方向靠就行了。由于分母中有一个sin（x*x）等价于x^2，所以前面的cosx-e^(x^2）当然也仅需要展开到x的2次方项就可以了。
因为cosx-------1-0.5x*x
e^x---------x
把上述等价无穷小带入分母即可，答案应该是 -1/12

Answer 2

用泰勒公式把所有的表示式里面的非多项式部分展开成多项式，再求多项式的极限。

举例：
lim {x->0} (sinx)/x
=lim {x->0} (x - x^3/3! + x^5/5! - ...)/x
=lim {x->0} 1 - x^2/3! + x^4/5! - ...
=1