Question

函数y=1/x-1的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和为? 希望答案能清晰易懂，谢谢。

唔，有图就更好了。
答案是8，求解答。

Answer 1

函数y=1/﹙x-1﹚与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)
令t=x-1，则x=1+t，t∈[-3,3]，
函数y=1/﹙x-1﹚与函数y=2sinπx即
y=1／t与y=2sinπ（1+t﹚=2sin﹙π+πt﹚=﹣2sin﹙πt﹚，t∈[-3,3]，
由于y=1／t与y=﹣2sinπt都是奇函数且定义域[-3,3]关于原点对称，所以它们的图像所有交点的横坐标之和为0.
由于y=1／t与y=﹣2sinπt，t∈[0,3]，的图像只在t∈﹙1,2﹚有两个交点t1,t2,所以y=1／t与y=﹣2sinπt，t∈[-3,3]的图像共有4个交点t1,t2，t1',t2'(t1',t2'分别是t1，t2关于原点的对称点），t1+t2+t1'+t2'=0，因为x=1+t，所以函数y=1/﹙x-1﹚的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和为x1+x2+x1'+x2'=1+t1+1+t2+1+t1'+1+t2'=4+(t1+t2+t1'+t2')=4+0=4.
即函数y=1/﹙x-1﹚的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和为4.

追问

1."由于y=1／t与y=﹣2sinπt，t∈[0,3]，的图像只在t∈﹙1,2﹚有两个交点t1,t2"是为什么？画图吗？
2。我的答案是8啊

追答

是画图，答案错了，如果是y=1/﹙1-x﹚，答案才是8。

Answer 2

令z=1-x,即x=1-z；则y=1/(1-x)变为y=1/z,y=2sinπx变为y=2sinπ(1-z)=2[sinπcosπz-cosπsinπz]=2sinπz。因-2<=x=<4，故-4<=-x=<2,-3<=1-x<=3,即-3<=z<=3。这样可知y=1/z与y=2sinπz均为[-3,3]上的奇函数，令f(z)=1/z-2sinπz,则若有z0使得f(z)=0,则必有-z0也使f(z)=0成立。此时x的值分别为1-x0，1+x0，他们的和为2。另外由于y=1/z有意义，故z≠0，排出了交点为奇数个的情形。问题转化为求f(z)=1/z-2sinπz在[-3,3]上的零点有几对的问题。只看z>0一边，简单的画一下y=1/z与y=2sinπz的图像，显然当z=1/2时，1/z=2，2sinπz=2这是一个交点并且此时1/z的切线斜率小于0，而2sinπz的切线斜率等于0这样两者在(1/2,1)上还有一个交点；显然在(2,5/2)(5/2,3)上还各有一个交点。共有四对交点，结果是8.

追问

y=1/x-1