Question

如图,分别以三角形ABC的边AB·AC为一边在三角形外作等腰直角三角形ABE和ACF，其中

如图,分别以三角形ABC的边AB·AC为一边在三角形外作等腰直角三角形ABE和ACF，其中∠BAE=90°∠CAF=90°·MA垂直BC于D求证M为EF的中点

Answer 1

证明：过E作EP⊥DM,交DM的延长线于点P,FQ⊥DM垂足为Q
因为∠BAE=90
所以∠BAD+∠EAP=90，
因为AD垂直BC
所以∠ADB=90，
所以∠BAD+∠ABD=90，
所以∠ABD=∠EAP
又∠ADB=∠EPA=90
AP=AE
所以△ABD≌△EAP,
所以AD=EP
同理△ACD≌△FAP
所以AD=FP
所以EP=FP,
因为EP⊥DM,FQ⊥DM
所以EP∥FQ
所以∠PEM=∠QFM,∠EPM=∠FQM
所以△MEP≌△MFQ
所以EM=FM
即M是EF的中点