Question

已知点P是圆O：x^2+y^2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足DQ=2/3DP

（1）求动点Q的轨迹方程
（2）已知点E（1,1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M,N，使OE=1/2（OM+ON） （O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由。

题中线段均为向量

Answer 1

（1） 假设Q点坐标（x1，y1） 满足x1²+y1²=9
D点坐标（x2，y2）
因为DQ=2/3DP 所以x2=x1 y2=(2/3)y1
带入方程 x2²+（3y2/2)²=9 即（x/3)²+(y/2)²=1 （可见Q点的轨迹是个椭圆）

（2）OM+ON最短为椭圆的短直径 即OM+ON≥4
1/2(OM+ON)≥2
OE=√2<2
所以不存在这样的两点M、N

Answer 2

（1）设P(a,b), Q(x,y), D(a,0), a²+b²=9,.................(*)
向量DQ=2/3向量DP，(x-a, y-0)=2/3(0,b)=(0,2b/3)
x-a=0 a=x
y=2b/3 b=3y/2
代入（*）, x²+(3y/2)²=9, Q点轨迹方程 x²/9+y²/4=1.
（2）由OE=1/2（OM+ON）（O是坐标原点），E是M、N的中点；
设M（x1,y1）,N（x2,y2）,则x1+x2=2, y1+y2=2,
x1²/9+y1²/4=1.................(1)
x2²/9+y2²/4=1.................(2)
(1)-(2)并代入中点坐标，(x1-x2)/9+(y1-y2)/4=0
直线MN的斜率 (y1-y2)/(x1-x2)=-4/9,
直线MN y-1=-4/9(x-1), 即4x+9y-13=0