Question

高中数学函数导数，详细讲解下 谢谢

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a,b,c∈R）为偶函数，且图像与坐标轴交与（-根号2,0）和（0，-2）点
1.求f（x）的解析式
2 已知g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间（0,1）上为单调增函数，求实数a的取值范围
3 讨论函数h（x）=ln（1+x²）-(1/2)f（x）-k的零点个数

Answer 1

j解答
1）因为是偶函数所以，b=0[这个应该立刻反应出来，高三了多记点结论]，又因为过点（0，-2）所以，c=-2，再将（-√2，0）带入式中，得到，a=1，所以f（x）=x^2-2;
（2）函数g（x）在（0,1）区间为单调增函数，所以g（x）的导函数gg（x）在（0,1）上非负，gg（x）=2*x+2+a/x，那么问题转化为a取什么值时gg（x）在（0,1）上非负
A）当a≥0时，gg（x）在（0,1）上非负，满足要求；

B）当a<0时，无论a取何值，总存在一个x，使得gg（x）小于0，主要是因为（0,1）区间中包含无限趋近0的数，使得a/x无限趋近负无穷，那么gg（x）趋近负无穷，舍掉a<0;

因此问题（2）的答案是a≥0
（3）h（x）=ln（1+x^2）-(1/2)f（x）-k
涉及到零点问题，在高中范围内，首先想到的应该是求函数的单调性，所以对h（x）求导
hh（x）=2x/(1+x^2)-x=x（2/(1+x^2)-1）=x*(1-x^2)/(1+x^2)
对于hh（x）来说，共有x=0，±1三个零点
当x＜-1时，hh（x）>0，h（x）为增函数
当-1<x<0时，hh（x）<0，h（x）为减函数
当0<x<1时，hh（x）＞0，h（x）为增函数

当x＞1时，hh（x）<0，h（x）为减函数
所以，h（x）的极大值出现在x=-1和x=1时，h（±1）=ln2+1/2-k
h（x）的极小值出线在x=0，h（0）=1-k
所以讨论当极大值ln2+1/2-k<0时，即k>ln2+1/2时，函数h（x）没有零点
当极小值大于0时，即k＜1时，函数出线两个零点，在x＜-1和x＞1区间上

当极大值大于0且极小值小鱼0时，将出现4个零点，自己画下图看

1，把（0，-2）代入f（x）=ax²+bx+c，得到c=-2
因为二次函数是偶函数，又与与坐标轴交与（-根号2,0），所以也与坐标轴交与（根号 2,0），把两个左标代入，可以求出解析式。
2，把解析式代入，化简，求导。因为在（0,1）上为单调增函数，所以在区间（0,1）上f'(x)是
大于0的，把0和1代入f'(x)>0，得出a的取值范围。
3，把解析式代入，化简。然后把化简出来的式子设为y和y'两个函数，在同一坐标轴上画出
它们的图像，看它们交点有几个就有几个零点。
望楼主采纳。

Answer 2

1，把（0，-2）代入f（x）=ax²+bx+c，得到c=-2
因为二次函数是偶函数，又与与坐标轴交与（-根号2,0），所以也与坐标轴交与（根号 2,0），把两个左标代入，可以求出解析式。
2，把解析式代入，化简，求导。因为在（0,1）上为单调增函数，所以在区间（0,1）上f'(x)是
大于0的，把0和1代入f'(x)>0，得出a的取值范围。
3，把解析式代入，化简。然后把化简出来的式子设为y和y'两个函数，在同一坐标轴上画出
它们的图像，看它们交点有几个就有几个零点。
望楼主采纳。

Answer 3

（1）因为是偶函数所以，b=0[这个应该立刻反应出来，高三了多记点结论]，又因为过点（0，-2）所以，c=-2，再将（-√2，0）带入式中，得到，a=1，所以f（x）=x^2-2;
（2）函数g（x）在（0,1）区间为单调增函数，所以g（x）的导函数gg（x）在（0,1）上非负，gg（x）=2*x+2+a/x，那么问题转化为a取什么值时gg（x）在（0,1）上非负
A）当a≥0时，gg（x）在（0,1）上非负，满足要求；

B）当a<0时，无论a取何值，总存在一个x，使得gg（x）小于0，主要是因为（0,1）区间中包含无限趋近0的数，使得a/x无限趋近负无穷，那么gg（x）趋近负无穷，舍掉a<0;

因此问题（2）的答案是a≥0
（3）h（x）=ln（1+x^2）-(1/2)f（x）-k
涉及到零点问题，在高中范围内，首先想到的应该是求函数的单调性，所以对h（x）求导
hh（x）=2x/(1+x^2)-x=x（2/(1+x^2)-1）=x*(1-x^2)/(1+x^2)
对于hh（x）来说，共有x=0，±1三个零点
当x＜-1时，hh（x）>0，h（x）为增函数
当-1<x<0时，hh（x）<0，h（x）为减函数
当0<x<1时，hh（x）＞0，h（x）为增函数

当x＞1时，hh（x）<0，h（x）为减函数
所以，h（x）的极大值出现在x=-1和x=1时，h（±1）=ln2+1/2-k
h（x）的极小值出线在x=0，h（0）=1-k
所以讨论当极大值ln2+1/2-k<0时，即k>ln2+1/2时，函数h（x）没有零点
当极小值大于0时，即k＜1时，函数出线两个零点，在x＜-1和x＞1区间上
当极大值大于0且极小值小鱼0时，将出现4个零点，自己画下图看看