Question

求分析 无穷级数的敛散性

设正项级数Un和Vn，其中Un收敛，Vn发散，分析Un-Vn的敛散性。有以下两种分析，那种是对的，为什么？
1.Un-Vn小于等于Un，Un收敛，故Un-Vn收敛。
2.Un收敛，Vn发散，收敛加减发散等于发散，故Un-Vn发散。
（概念混乱，求分析~~）

Answer 1

第二种才是对的
可以用反证法：
假设∑(Un-Vn)收敛
又有∑Un收敛
那么，∑Un-∑(Un-Vn)=∑Vn必收敛，与Vn发散矛盾！
因此，∑(Un-Vn)发散

至于第一种为什么是错的呢？？
因为通项Un趋于0，Vn不趋于0，那么Un-Vn自然不会趋于0
那么更不要说收敛了
比较判别法只是对正项级数(或更广泛，对同符号数项级数)适用
但是，∑(Un-Vn)根本不是正项级数
给个例子：
∑1/n^2收敛；∑{[(-1)^n]+2}发散
明显：∑ (1/n^2)-{[(-1)^n]+2}不是正项级数而且发散

有不懂欢迎追问

追问

挺有道理的，谢谢哈。

那什么时候能用比较判敛法，不能用时要怎么办。比如这题……

追答

对于一个数项级数（通项是单项式时）
第一步，是看通项是否趋于0，如果不是直接就是发散（这是级数收敛的必要条件）
第二步，看是否为正项级数，因为正项级数的性质比较好，要判断敛散性，可以用：
Cauchy积分判别法；p级数性质；比较判别法(或其极限形式)；Cauchy根值法(或其极限形式)；D'Alembert比值法(或其极限形式)；Raabe判别法
第三步，这肯定是个一般项级数，特殊的可以用Leibniz判别法，更一般的只能用：
Dirichlet判别法；Abel判别法

当通项为多项式时
应该用假设法，对每一单项进行讨论
那么：收敛±收敛=收敛
收敛±发散=发散

像题目这题：是多项式，先分开每一项来讨论
sin(na)/n^2……用Dirichlet判别法，即有收敛
1/n^(1/2)……D'Alembert比值法的极限形式(与1/n比较)，即有发散
（其实可以用p级数直接判断）
那么，收敛+发散=发散
即，级数发散

有不懂欢迎追问

Answer 2