Question

已知直线l过点P(2,1),且与X轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点.

已知直线l过点P(2,1),且与X轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点.当OA+OB的值最小时，求直线l的方程

请问为什么不能这样做
a+b＞=2根号下ab
当a=b时有最小值
所以2/a+1/b=1
因为a=b
所以a=3 b=3 所以y=3-x

Answer 1

a+b＞=2根号下ab
当a=b时有最小值
所以2/a+1/b=1
因为a=b
所以a=3 b=3 所以y=3-x，这样做是错了一百错了，
2/a+1/b≥2√2/ab,当且仅当：2/a=1/b---（1）
a+b＞=2根号下ab当且仅当：a=b时-----（2）
（1）（2）组成的方程组是无解的
正解：因为2/a+1/b=1
所以：（a+b）（2/a+1/b）=2+1+2b/a+a/b≥3+2√2
当且仅当2b/a=a/b,及2/a+1/b=1组成的方程组
解得a=2+√2，b=1+√2，

追问

他要求的是a+b最小,我为什么不能将a=b代入2/a+1/b=1里去.

追答

问题是在2/a+1/b=1条件下求a+b最小，
如果将a=b代入2/a+1/b=1求出a与b之后，
这时a=3 b=3，这两个相等吗？实际上与a=b矛盾呀

追问

相等啊..算出3后不论a=b还是2/a+1/b=1都成立
虽然我知道我这里肯定错了,但是我就是不知道哪里可以被反驳
a=b情况下算出a+b最小 这个时候a=b结果代入其他有a和b的式子里是没有关系的吧

追答

这个实际上是方程组：a=b----（1），2/a+1/b=1-----（2）
你是把（1）a=b代入（2）解出来是a=3 b=3，那么a=3与 b=3相等吗
也就是a=b----（1），2/a+1/b=1-----（2）不能同时成立的，明白吗？

追问

a=3 b=3怎么不相等了.
1式和2式只要在两者等于3的条件下就能同时成立啊.
我是这样想的,2/a+1/b=1在这条直线上是恒成立的,那么不论a取什么b也会有对应的值,只要构成一个三角形,
既然a=b是a+b的最小值
那么我让a=b去代入这恒成立的式子里,难道不可以吗.

追答

a+b≥2√ab，当a=b时有最小值，这时√ab必须是一个常数，否则是一个不定值，不能作最小值，
例如：Y=1/X+√X≥2/√X，显然2/√X是不能作最小值的，当且仅当1/X=√X，即X=1时，Y=2不是最小值，你这个问题是这样：把a=b代入2/a+1/b=1解出a=3 b=3，得a+b≥2√ab=6这个方法等价于：先由2/a+1/b=1解得：a=2b/（b-1）代入b+a=b+2b/（b-1）≥2√[2b²/（b-1)]
当且仅当b=2b/（b-1）时，即b=3，a=3时取最小值6，显然2√[2b²/（b-1)]不能当作最小值的。
由于语言能力不好，不知有没有说明问题。