Question

25、（12分）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB

连结AD、AG。
求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。

Answer 1

(1)证明：
在⊿ABE和⊿ACF中，
∵BE⊥AC，CF⊥AB（已知）
∴∠AEB=∠AFC＝90°
∵∠BAC为公用角
∴⊿ABE∽⊿ACF（两三角形的两个角对应相等，两三角形相似。）
∠ABE＝∠ACF（两三角形相似，对应角相等。）
在⊿ABD和⊿GCA中
∵BD＝AC，AB=CG（已知）
∴△ABD≌△GCA（两三角形的两边和夹角对应相等，两三角形全等。）
∴AG＝AD（两全等三角形的对应边相等。）
（2）解：
由（1）中，△ABD≌△GCA，
得：∠BAD＝∠G（两全等三角形的对应角相等。）
又，⊿AGF为直角三角形
则，∠GAD＝∠BAD+∠BAG
＝∠G+∠BAG
＝90°(直角三角形的两余角和等于90度。)
结论：AG，AD互相垂直。

Answer 2

1、证明：
∵BE⊥AC
∴∠AEB＝90
∴∠ABE+∠BAC＝90
∵CF⊥AB
∴∠AFC＝∠AFG＝90
∴∠ACF+∠BAC＝90，∠G+∠BAG＝90
∴∠ABE＝∠ACF
∵BD＝AC，CG＝AB
∴△ABD≌△GCA （SAS）
∴AG＝AD
2、AG⊥AD
证明
∵△ABD≌△GCA
∴∠BAD＝∠G
∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90
∴AG⊥AD

Answer 3

由垂直得∠ABE=∠ACF
易得三角形ABD全等于三角形ACG
得1
AD垂直AG
由刚刚的垂直可得角的关系来证