Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。

（1）求证：MN=AM+BN

Answer 1

证明：∵∠C=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∵AM⊥MN，BN⊥MN
∴∠AMC=∠CMB=90°
∴∠MAC+∠MCA=90°
又∵∠MCA+∠BCN=90°
∴∠MAC=∠BCN
又∠AMC=∠CMB，AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN，MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN

Answer 2

由题知，∠ACB=∠AMN=∠BNM=90°，
故∠MCA+∠NCB=90
又∠ MAC+∠CAB+∠CBA+∠CBN=180°，
故∠MAC+∠CBN=90
因AC=CB
故△MAC≌△NCB
故MC=BN,AM=CN
MN=MC+CN=AM+BN

Answer 3

在三角形AMC和三角形CMB中
AC=CB 角AMC=角CMB=90°
又角C=90°
所以角MCA+角NCB=90°
因为角NCB+角NBC=90°
所以角MCA=角CBN
易得出：△AMC全等于△CNB
所以AM=CN MC=MB
所以，得出结论：MN=CM+CN=BN+AM

如有不懂请追问，如果满意请采纳，谢谢~~~

Answer 4

证明：∵∠C=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AM⊥MN，BN⊥MN
∴∠AMC=∠CNB=90°
∴∠2+∠3=90°
∠1+∠4=90°
∴∠1=∠3,∠2=∠4
又AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN，MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN