Question

设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足：bn=nan，且数列{bn}的前n项和为（n-1）Sn+2n（n∈N*）。

设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足：bn=nan，且数列{bn}的前n项和为（n-1）Sn+2n（n∈N*）．
（1）求a1，a2的值；
（2）求证：数列{Sn+2}是等比数列；
（3）求数列an的通项公式。（ps：这题最重要）

Answer 1

b1=（1-1）s1+2=2，b1=1a1，得a1=2
b1+b2=（2-1）s2+2x2=s2+4=a1+a2+4
b2=2a2，于是2+2a2=2+a2+4，得a2=4
（2）当n≥2时bn=（n-1）sn+2n-[（n-2）s（n-1）+2（n-1）]=（n-1）sn+（n-2）s（n-1）+2
an=sn-s（n-1）
于是（n-1）sn+（n-2）s（n-1）+2=n[sn-s（n-1）]
化简得sn=2s（n-1）+2，即sn+2=2[s（n-1）+2]，s1+2=4
于是数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列
（3）sn+2=2^（n+1），sn=-2+2^（n+1）
当n≥2时an=sn-s（n-1）=2^n，a1=2也满足通项。于是an=2^n

Answer 2

解：1、a1=b1=2 b1+b2=a1+a2+4 又b2=2a2 则a2=4 b2=8
2、bn=aan=（n-1）Sn+2n-(n-2)S(n-1)-2(n-1)
而an=Sn-S(n-1)
由两式得Sn=2S(n-1)+2
变形得Sn+2=2[S(n-1)+2]
故数列{Sn+2}是首项为S1+2=4 公比为2的等比数列
3、由2得Sn+2=4*2^(n-1)=2^(n+1)
则Sn=2^(n+1)-2
则an=Sn-S(n-1)=2^n (n属于正整数）