Question

关于x的不等式(x-1)²>ax²有且只有三个整数解,则实数a的取值范围是

Answer 1

(a-1)x²+2x-1＜0

1、a=1,为y=(a-1)x²+2x-1为一次方程，有无数个整数解。

2、a-1＜0，即a＜1，y为二次函数。与y轴交点：-1，对称轴为：-1/(a-1)>0，开口向下

大致图像为：（与x轴有无交点不知道，但无所谓）

所以又无数个整数解。

3、a-1>0,即a>1，y为二次函数。与y轴交点：-1，对称轴为：-1/(a-1)<0，开口向上

大致图像为：

x=0为一个整数解，还要且只能有两个整数解，由图可知另两个解必然是-2和-1。（所以y与x轴交点在0,1之间，另一个在-2，-3之间）

x=0时，y<0.   解得：a为R

x=1时，y>0    解得：a>0

x=-3时,y>0     解得：a>16/9

x=-2时,y<0     解得：a<9/4

综上：16/9<a<9/4

Answer 2

首先当a≤0时，显然x有无数个整数解
当a＞0时，令t=根号a，a=t²，t＞0【因为根号不好打，换元了方便打字，也方便看】
当x=0时不等式成立。
当x≠0时（x-1）²/x²＞t²
1-（1/x）＞t或1-（1/x）＜-t
（1/x）＜1-t或（1/x）＞1+t
当1-t≥0时，x＜0有无数个整数解，于是1-t＜0，即t＞1
得1/（1-t）＜x＜1/（1+t），显然1/（1+t）＜1，于是整数解为0，-1,-2
于是1/（1-t）＜-2，得t∈（1,3/2），a∈（1,9/4）。
【你写的时候不用换元，用根号a代替t即可】

Answer 3

解：不等式可简化为
(a-1)x²+2x-1<0
1.若a=1，不等式可简化为x<1/2，有无数多个整数解，与题意不符，因此a≠1。
2.若a>1，不等式可化为[x+1/(√a-1)][x-1/(√a+1)]<0，
1/(1-√a)<x<1/(1+√a)，
因不等式(x-1)²>ax²有且只有三个整数解，故
2≤1/(1+√a)-1/(1-√a)<3，
2≤2√a/(a-1)<3，
(3-√5)/2≤a<(11-2√10)/9，与a>1不合，舍去。
(11+2√10)/9<a≤(3+√5)/2 。
3.若a<1，不等式可化为[x-1/(1-a)]²-a/(1-a)²>0，
(1)若a<0，则不等式恒成立，与题意不符。
(2)若0<a<1，不等式可化为[x-1/(1+√a)][x-1/(1-√a)]>0，
x<1/(1+√a)或x>1/(1-√a)，与题意不符。
总上所述，a的取值范围为(11+2√10)/9<a≤(3+√5)/2 。