Question

3.设 z=f(x^2,ye^(2x)) ,f具有连续偏导数,求(z)/(x) (z)/(y)？

Answer 1

根据链式法则，对于函数 z=f(x^2,ye^(2x))，有：

∂z/∂x = (∂z/∂u) * (∂u/∂x) + (∂z/∂v) * (∂v/∂x)

其中，u = x^2，v = ye^(2x)。因此，

∂u/∂x = 2x

∂v/∂x = ye^(2x) * 2 = 2y e^(2x)

根据偏导数的定义，有：

∂z/∂u = ∂f/∂u

∂z/∂v = ∂f/∂v

因此，我们需要求出 ∂f/∂u 和 ∂f/∂v。

对于 ∂f/∂u，可以使用偏导数的定义，即：

∂f/∂u = ∂f/∂(x^2) * (∂(x^2)/∂u) + ∂f/∂(ye^(2x)) * (∂(ye^(2x))/∂u)

因为 ∂(x^2)/∂u = 0，∂(ye^(2x))/∂u = 0，所以：

∂f/∂u = 0

对于 ∂f/∂v，同样可以使用偏导数的定义，即：

∂f/∂v = ∂f/∂(x^2) * (∂(x^2)/∂v) + ∂f/∂(ye^(2x)) * (∂(ye^(2x))/∂v)

因为 ∂(x^2)/∂v = 0，∂(ye^(2x))/∂v = e^(2x)，所以：

∂f/∂v = e^(2x) * ∂f/∂(ye^(2x))

因此，根据上述结果，我们可以得到：

∂z/∂x = (∂f/∂v) * (2y e^(2x)) = 2y e^(4x) * ∂f/∂(ye^(2x))

∂z/∂y = (∂f/∂u) * (2x) + (∂f/∂v) * (e^(2x)) = e^(2x) * (∂f/∂v) + 2x * (∂f/∂u)

因此，我们需要求出 ∂f/∂(ye^(2x)) 和 ∂f/∂(x^2)。对于 ∂f/∂(ye^(2x))，可以使用偏导数的定义，即：

∂f/∂(ye^(2x)) = (∂f/∂y) * (∂y/∂(ye^(2x))) = (∂f/∂y) * e^(-2x)

因此，我们需要求出 ∂f/∂y。根据偏导数的定义，有：

∂f/∂y = ∂f/∂(ye^(2x)) * (∂(ye^(2x))/∂y) = e^(2x) * ∂f/∂(ye^(2x))

因此，

∂z/∂x = 2y e^(4x) * ∂f/∂(ye^(2x)) = 2y ∂f/∂y

∂z/∂y = e^(2x) * (∂f/∂v) + 2x * (∂f/∂u) = e^(2x) * e^(-2x) * (∂f/∂(ye^(2x))) + 2x * 0 = ∂f/∂(ye^(2x))

因此，(z)/(x) = 2y ∂f/∂y，(z)/(y) = ∂f/∂(ye^(2x))。

Answer 2

z = f[x^2, ye^(2x)]
∂z/∂x = 2xf'1 + 2ye^(2x)f'2
∂z/∂y = e^(2x)f'2