Question

关于x的方程3tx^2+(3-7t)x+4=0的两个实根αβ满足0＜α＜1＜β＜2,求实数t的取值范围.

答案给的是(0,7/4)

Answer 1

设f(x)=3tx^2+(3-7t)x+4，显然有t≠0，否则方程不可能有两个实根
由于0＜α＜1＜β＜2，所以f(0)•f(1)<0，且f(1)•f(2)<0
又f(0)=4，f(1)=-4t+7，f(2)=-2t+10
所以 -4t+7<0，-2t+10>0
即有：7/4<t<5

Answer 2

令f(x)=3tx^2+(3-7t)x+4
0＜α＜1＜β＜2
所以f(0)*f(1)<0
f(1)*f(2)<0
所以4*(3t+3-7t+4)<0
(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0
由4*(3t+3-7t+4)<0
得到-4t+7<0
t>7/4
由(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0
得到(-4t+7)(-t+10)<0
(4t-7)(t-10)<0
4/7<t<10

所以4/7<t<10

Answer 3

解：由题意得：1<α+β<3 0<αβ<2
α+β=-(3-7t)/3t αβ=4/3t
1<-(3-7t)/3t<3 <1> 0<4/3t<2 <2>
由<1>得：t>3/4或t<-3/2(取t的交集）〈3〉
由<2>得：t>2/3 或t<0(取t的交集) <4>
由<3><4>(取t的交集)得：t>3/4或t<-3/2

Answer 4

3tx^2+(3-7t)x+4=0
b^2-4ac>0
t>1.74.....
t<0的时候
抛物线开口向下
f(0)<0 f(1)>0 f(2)<0
不成立

t>0
f(0)>0 f(1)<0 f(2)>0
3-4t+4<0
4t>7
t>7/4

12t+6-14t+4>0
2t<10
t<5

那么t属于(7/4,5)

Answer 5

令f(x)=3tx^2+(3-7t)x+4
0＜α＜1＜β＜2
所以f(0)*f(1)<0
f(1)*f(2)<0
所以4*(3t+3-7t+4)<0
(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0
由4*(3t+3-7t+4)<0
得到-4t+7<0
t>7/4
由(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0
得到(-4t+7)(-t+10)<0
(4t-7)(t-10)<0
4/7<t<10

所以4/7<t<10