Question

已知圆M的圆心在直线2x-y+5=0上，且与y轴交于两点A(0,-2),B(0,4) （1)求圆M的方程

（2）求过点C（-4，4）的圆M的切线方程；（3）已知D(1,3),点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形ADQP的顶点Q的轨迹方程

Answer 1

1）因为圆与 y 轴交于A、B，
因此圆心在AB的垂直平分线上，即圆心纵坐标为 (-2+4)/2=1 ，
在 2x-y+5=0 中，令 y=1 得 x= -2 ，
因此圆心为M（-2，1）， r^2=MA^2=(-2-0)^2+(1+2)^2=13 ，
所以，圆M的方程为 (x+2)^2+(y-1)^2=13 。
2）容易知道，C 在圆M上，
由于kCM=(4-1)/(-4+2)=-3/2 ，因此切线斜率为 2/3 ，
所以，过C的圆的切线方程为 y-4=2/3*(x+4) ，即 2x-3y+20=0 。
3）设P（x1，y1），Q（x，y），
因为ADQP是平行四边形，因此AQ=AP+AD，
即 (x，y+2)=(x1，y1+2)+(1，5)=(x1+1，y1+7) ，
则 x1=x-1 ，y1=y-5 ，
代入圆M的方程得 (x+1)^2+(y-6)^2=13 ，
因为 P 与 A、D 不重合，因此 （x，y）≠ （1，3）、（2，8），
所以，所求的Q的轨迹方程为 (x+1)^2+(y-6)^2=13 ，其中(x，y)≠(1，3) 和(2，8) 。