Question

已知数列an的前n项和Sn=n2+n，数列bn满足，bn=1,bn+1=2bn+1,1.求数列an和bn的通项公式

2.设cn=an*bn,求数列cn的前n项和Tn

Answer 1

解析，
Sn=n²+n
a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2n，
因此，an=2n(n≥1).
b(n+1)=2bn+1
b(n+1)+1=2(bn+1),故，b(n)+1是以b1+1为首项，公比是2的等比数列，
b1+1=2,
bn+1=2^n，
因此，bn=2^n-1
cn=an*bn=n*2^(n+1)-2n
Cn=c1+c2+……+cn
=1×2²+2×2³+3×2^4+……+n×2^(n+1)-2(1+2+……+n)
又，1+2+……+n=n(n+1)/2，
设Dn=1×2²+2×2³+3×2^4+……+n×2^(n+1)【1】
那么，2Dn=1×2³+2×2^4+……+(n-1)×2^(n+1)+n×2^(n+2)【2】
【1】-【2】错位相减
-Dn=2²+2³+2^4+2^5+……+2^(n+1)-n×2^(n+2)
=2^(n+2)-n×2^(n+2)-4
那么，Dn=(n-1)*2^(n+2)+4
故，Cn=Dn-n(n+1)=(n-1)*2^(n+2)-n²-n+4。