Question

已知数列an的首项a1=2/3,an+1=2an/an+1,

（1）证明数列!/an—1是等比数列
（2），求数列{n/an}的前n项和Sn

Answer 1

1、由an+1=2an/an+1得1/a(n+1)=1/2an+1/2
变形得1/a(n+1)-1=1/2（1/an-1）
故数列{an-1}首项为a1-1=1/3公比为1/2的等比数列
则1/an-1=1/[3*2^(n-1)]
2、由1得1/an=1/[3*2^(n-1)]+1
则n/an=n/[3*2^(n-1)]+n
再用分组求和即可得到Sn
（当然还有用到错位相加法）

Answer 2

题目应该是这样的吧：

Answer 3

证明：∵a1=2/3,an+1=2an/an+1有：
a ²n+1=2an → an＞0
∴ a2²=2×（2/3)=4/3→ a2=2/根号3=2×3^(-1/2)
a3²=2×（2/根号3）=4/根号3 →a3=2×3^(-1/4)
。。。 。。。
an=2/{3^[(1/2）^（n-1)]}
lg(2/an)=lg3[(1/2)^(n-1)]
可见{lg（2/an)}是以lg3为首项以（1/2)为公比的等比数列。