Question

问一个数学系高等代数方面的问题

倒数第二行f(x)和g(x)在C[x]都有根a+√b,为什么就能得到（f,g）=g？

Answer 1

由倒数第三行知，f,g要么没有公约数，要么公约数为g，既然f,g都有相同的根了，所以他们的公约数为g（在Q【x】上，g是不可约的）。
但是，这个题目是不是有问题。因为在有理数域上，多项式可以任意次数不可约；只有在复数域上，才是一次不可约。所以，感觉f(x)应该属于C[x].如果题目改成这样，那么这就是一个很显然成立的问题了。
当然，以上只是属于本人拙见。希望能帮助你！

Answer 2

注意，最大公因子是一个和域无关的概念，不论在Q上还是在C上d(x)=(f(x),g(x))都是一样的
（只要在较小的域上按照u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)来讨论就行了，再把所有的多项式看作较大的域上的多项式）

既然如此，有两种很直接的观点来看这个问题
1. u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)，把t=a+sqrt(b)代进去，f(t)=g(t)=0，所以d(t)=0，这的说明d(x)=1是不成立的
2. 也可以直接作因子分解，(x-a-sqrt(b))同时是f(x)和g(x)的因子，也一定是d(x)的因子，这说明d(x)的次数至少是1

Answer 3

在复数域内，当有公因式时，可等于最小公因式