Question

万有引力

两个天体（包括人造天体）间存在万有引力，并具有由相对位置决定的势能。如果两个天体的质量分别为m1和m2，当它们相距无穷远时势能为零，则它们距离为r时，引力势能为Ep= -Gm1m2÷R，发射地球同步卫星一般是把它先送入较低的圆形轨道，如图所示，再经过两次“点火”，即先在图中a点处启动燃气发动机，向后喷出高压燃气，卫星得到加速，进入图中的椭圆轨道II，在轨道II的远地点b处第二次“点火”，卫星再次被加速，此后，沿图中的圆形轨道III（同步轨道）运动。
设某同步卫星的质量为m，地球半径为R，轨道I距地面非常近，轨道III距地面的距离近似为6R，地面处的重力加速度为g，并且每次点火经历的时间都很短，点火过程中卫星的质量减少可以忽略。
求（1）从轨道I转移到轨道III的过程中，合力对卫星所做的总功是多大？
（2）在a处“点火”过程中燃气对卫星所做的功是多少？
不要只说思路，求过程！（1）-3mgR/7(2)3mgR/56
错的、不会的误入，回答精彩加10分！谢谢！
（2）打错了，不好意思……应该是“若已知卫星在轨道II上经过a点时的速率为√（7gR）/2,则在b处点火的过程中燃气对卫星做的功是多少”。

Answer 1

解：
⑴卫星在地面附近做圆周运动时，
　　F＝mv²/R＝GMm/R²＝mg，
　则：GM/R²＝g，v²＝GM/R
　近地轨道Ⅰ的机械能：
　　E1＝½mv²－GMm/R
　　　＝－½GMm/R
　　　＝－½mgR
　卫星在轨道Ⅲ做圆周运动时，
　　F'＝mv' ²/(7R)＝GMm/(7R)²
　　v' ²＝GM/(7R)
　此时机械能：－½mgR
　　E2＝½mv‘²－GMm/(7R)
　　　＝－½GMm/7R
　　　＝－mgR/14
　合力做的总功：
　　W＝E2－E1＝－mgR/14－(－½mgR)
　　　　　 　　＝3mgR/7
⑵卫星在轨道Ⅱ的a点时机械能：
　　E1'＝½mv''²－mgR
　　　 ＝½m×7gR/2²－mgR＝－mgR/8，
　燃气对卫星做功：
　　E2－E1'＝－mgR/14－(－mgR/8)
　　　　　 ＝3mgR/56

追问

从½mv''²到½m×7gR/2²是怎么导出来的？

追答

卫星在轨道Ⅱ的a的速度：v''＝√（7gR）/2,，题目已知。v''²＝7gR/2²。
所以，此时卫星的动能：Ek1'＝½mv''²＝½m·7gR/2²。