Question

椭圆，双曲线以及抛物线第二定理的证明

就是准线是a^2/c怎么证明的，顶点到定直线的距离之比为常数E？

Answer 1

设焦点在x轴上的椭圆：
x^2/a^2+y^2/b^2=1
B(0,b)设B到右准线的垂线段BH,根据椭圆的第二定义；|BF2|/|BH|=e=c/a
而|BF2|=a
即：
a/|BH|=c/a==>|BH|=a^2/c
右准线方程：
x=a^2/c,左准线与右准线对称，所以两准线方程为：
x=±a^2/c

追问

那双曲线的事怎么证的？谢谢

追答

说双曲线是不准确的，准确地说P的轨迹是等轴双曲线。
如果A、B没有落在坐标轴上你这就是一般的双曲线方程，初等知识解决不了，需要线性代数做知识支持。你可以把问题简化，设A(-c,0)，B(c,0)，P(x,y)，再推广至一般情况，那么问题就很容易解决了。
带根号是显然的。只须平方一次即可，并不复杂。
|PO|=√(x^2+y^2)
|PA|=√[(x+c)^2+y^2]
|PB|=√[(x-c)^2+y^2]
|PO|为|PA||PB|等比中项，即|PO|^2=|PA||PB|
即x^2+y^2=√{(x+c)^2(x-c)^2+y^2[(x+c)^2+(x-c)^2]+y^4}，
两侧同时平方，得x^4+y^4+2x^2y^2=x^4+c^4-2x^2c^2+2x^2y^2+2c^2y^2+y^4，
整理得2x^2/c^2-2y^2/c^2=1，故P的轨迹为等轴双曲线，a=b=√2c/2。

Answer 2

设准线 用椭圆的标准方程 设一个动点 再用定义得证 而且E不是常数 与方程有关

Answer 3

这是定义

追问

我是问怎么推理的，书上有定义，不要你重复，谢谢