Question

e的x次方乘以sinx平方的不定积分是多少？

Answer 1

e的x次方乘以sinx平方的不定积分是(1/2)e^x-(1/5)(cos2x+2sin2x)(e^x)+C=[(1/2)-(1/5)(cos2x+2sin2x)]e^x+C。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

不定积分的计算小技巧：

当被积函数有一部分比较复杂时，我们可以通过观察把某些函数放到d的后面(放在d后面的函数会发生变化)，使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构，最后运用基本积分公式将其求出(若不能求出的话则进一步运用其它方法求出)。

Answer 2

I = ∫e^x(sinx)^2dx = (1/2)∫e^x(1-cos2x)dx = (1/2)e^x - (1/2)∫e^xcos2xdx
I1 = ∫e^xcos2xdx = ∫cos2xde^x = e^xcos2x + 2∫e^xsin2xdx
= e^xcos2x + 2∫sin2xde^x = e^x(cos2x+2sin2x) - 4I1
解得 I1 = (1/5)e^x(cos2x+2sin2x)
I = (1/2)e^x - (1/10)e^x(cos2x+2sin2x) + C