Question

在锐角三角形ABC中，∠BAC=45°,已知a=5,b<c,三角形ABC的垂心为M，AM交BC于D，MD=1,求tan∠ABC.

高中数学问题，求答案和解题过程

Answer 1

作出芹宽△ABC的外悔薯接圆，深入发挥碧首者垂心的几何性质，找到BD的长，得tan∠ABC=2。

追答

作出△ABC的外接圆，深入发挥垂心的几何性质，找到BD的长，得tan∠ABC=2。

Answer 2

连CM并延长交AB于F,
M是△ABC的垂心，
所以AD⊥BC,CF⊥AB,
∠BAC=45°，
所以AF=CF=b/√2，①
tan∠ABC=CF/BF=CD/DM,设为x,MD=1,
所以CD=x,BF=CF/x=b/(x√2),②
a=5,
cosB=BF/BC=b/(5x√闷薯2)=1/√(1+x^2),
b=5x√2/√(1+x^2),
代入①，AF=5x/√(1+x^2),
代入②,BF=5/答含√(1+x^2),
c=AF+FB=5(x+1)/√(1+x^2),
由BD=ccosB,得
5-x=5(x+1)/(1+x^2)
(5-x)(1+x^2)=5(x+1),
5-x+5x^2-x^3=5x+5,
x^3-5x^2+6x=0,
x(x-2)(x-3)=0,x>0,
所以x=2或3.
x=3时b>c,舍清罩笑。
所以tan∠ABC=2.