Question

数学题。求详细解答过程。

某公路某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y=920v/v²+3v+1600(v＞0).在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？

Answer 1

确定题目没有写错？

Answer 2

经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：y=920vv2+3v+1600
(v＞0)
（1）若要求在该时间段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
（2）该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）
考点：函数模型的选择与应用．
专题：计算题；应用题．
分析：（1）某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：y=920v
v2+3v+1600
(v＞0)可得，在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，920v
v2+3v+1600
＞10，解不等式即可求出v的范围．
（2）根据基本不等式性质可知 920
3+(v+1600
v
)
≤920
3+2 1600

，进而求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．
解答：解：（1）由条件得 920vv2+3v+1600＞10，
整理得v2-89v+1600＜0，
即（v-25）（v-64）＜0．解得25＜v＜64．
（2）依题意，y=920
3+(v+1600
v
)
≤920
3+2 1600

=920
83
，
当且仅当v=1600v，即v=40时，上式等号成立，
所以ymax=920
83
≈11.1（千辆/时）．
∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．