Question

如图，正方形ABCD内接于○O，点P在劣弧AB上，连接DP,交AC于点Q，若QP=QO，则QC:QA=??

答案是：根号3+2，，，，，求过程。。。

Answer 1

1、解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r-m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r-m）•（r+m）=m•QD，所以QD=（r²-m²）/ m ．
连接DO，由勾股定理，得QD²=DO²+QO²，
即[(r²-m²) /m ]²=r²+m²，
解得m= √3/3   r
所以，QC/ QA =(r+m)/( r-m) = (3+√3 )/(3-√3 ) = √3 +2

2、

解:连接PB,DB; 连接OP,BQ,OP交BQ于M.
∠ABC=90°,则DB为直径, 即点O在直径DB上,得:∠DPB=90°=∠AOB;
∵QP=QO;QB=QB.
∴Rt△QOB≌Rt△QPB(HL),得:∠PQB=∠OQB;
故QB垂直平分OP;(等腰三角形"三线合一").
设圆的半径为2Y,则OM=OP/2=Y.OB=2Y.则BM=√(OB²-OM²)=√3Y;
易证:△OMQ∽△BMO,

则OQ/BO=OM/BM,OQ/(2Y)=Y/(√3Y),OQ=(2√3/2)Y.
所以,QC:QA=(OQ+OC):(OA-OQ)=[(2√3/2)Y+2Y]:[2Y-(2√3/2)Y]=2+√3. 

3、

如图，∵QP=QO，三个红角相等，∠AOB＝90°＝∠AOP+∠BOP＝红+2红＝3红。

∴红＝30°;

OQ/（OP/2）＝1/cos30°＝2/√3.  OP＝√3OQ

QA/QC＝（OP+OQ）/（OP-OQ）＝（√3+1）/（√3-1）＝2+√3.