Question

关于x的方程mx²+2(m+3)x+2m+14=0有两个实数根，且一根大于4一根小于4，求m的范围（要过程）

Answer 1

有2个不等实数根，那么m≠0，且Δ=4(m+3)²-4m(2m+14)>0，解得：-9<m<1，且m≠0
令f(x)=mx²+2(m+3)x+2m+14，f(4)=16m+8(m+3)+2m+14=26m+38
当m>0时，f(x)开口向上，那么f(4)=26m+38<0，那么m<-19/13，显然不成立，舍去；
当m<0时，f(x)开口向下，那么f(4)=26m+38>0，那么m>-19/13，所以-19/13<m<0
综上所述，-19/13<m<0

Answer 2

答：
设方程的两个根为x1,x2,若满足
(x1-4)(x2-4)<0
则x1,x2中必有一个大于4，且必有一个小于4。
mx^2+2(m+3)x+2m+14=0,
m≠0，
由韦达定理，
x1+x2=-2(m+3)/m,
x1x2=2(m+7)/m,
△=4(m+3)^2-4m(2m+14)>0
(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16
=2(m+7)/m+8(m+3)/m+16<0,
由上不等式解得
-19/13<m<0.

Answer 3

有两个实数根,则有：
△=4(m+3)^2-4(2m+14)=4m^2+24m+36-8m-56=4m^2+16m-20>=0

m^2+4m-5>=0

(m+5)(m-1)>=0

m>=1或者m<=-5

一根比4大，另一根比4小,则有：f(4)<0

即：4^2+2(m+3)*4+2m+14<0

16+8m+24+2m+14<0

10m<-54
m<-5.4

综上所述，m<-5.4