Question

定积分计算:积分限是[0,1]，被积函数是 ln(1+x)/(1+x^2)，求该定积分。

这是汤家凤2013考研数学暑期强化·高等数学辅导讲义上P50的一道题，算了很久，我的思路是分部积分，也考虑了对称等性质想简便计算，但是实在想不出，感觉分部积分更靠谱一些。还望路过的大神不吝赐教～

Answer 1

设x=tant. t∈[0, π/4]

则 ∫ ln(1+x)/(1+x^2) dx

=∫ ln(1+tant)/ (1+tant ^2) *sect^2 dt

=∫ ln(1+tant) dt

=∫ ln(sint+tant)-ln(cost) dt

=∫ ln(√2 *(sin(t+π/4)))-ln(cost) dt

=∫ 1/2 *ln2+ln(sin(t+π/4))-ln(cost) dt.(t从0->π/4)

=π*ln2/8+∫ ln(sint) dt (t从π/2->π/4) -∫ ln(sint) dt (t从π/2->π/4)

=π*ln2/8

应用

1、解决求曲边图形的面积问题

例：求由抛物线与直线围成的平面图形D的面积S。

2、求变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

3、变力做功

某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。

Answer 2

设x=tant. t∈[0, π/4].
则 ∫ ln(1+x)/(1+x^2) dx.
=∫ ln(1+tant)/ (1+tant ^2) *sect^2 dt.
=∫ ln(1+tant) dt.
=∫ ln(sint+tant)-ln(cost) dt.
=∫ ln(√2 *(sin(t+π/4)))-ln(cost) dt.
=∫ 1/2 *ln2+ln(sin(t+π/4))-ln(cost) dt.(t从0->π/4).
=π*ln2/8+∫ ln(sint) dt (t从π/2->π/4) -∫ ln(sint) dt (t从π/2->π/4).
=π*ln2/8.

Answer 3

你再看一看，是不是题目错误了

追问

我也很怀疑，我写出来的的确是原题，也有可能印刷有误。