Question

已知数列｛an｝的前n项和Sn=(n-1)2^n+1,是否存在等差数列｛bn}

已知正项数列{an}的前n项和sn=（n-1）*2^n+1,是否存在等差数列{bn},使an=b1C上标1下标n+b2C上标2下标n+…+bnC上标n下标n对一切正整数n均成立？

Answer 1

a1=S1=1
an=Sn-S(n-1)=n*2^(n-1)
n=1也符合此式，故an=n*2^(n-1)
假设存在这样的等差数列{bn}，设bn=pn+q
则b1C(1,n)+b2C(2,n)+……+bnC(n,n)
=p[C(1,n)+2C(2,n)+……+nC(n,n)]+qn
设S=0*C(0,n)+C(1,n)+2C(2,n)+……+nC(n,n)
则S=nC(n,n)+(n-1)C(n-1,n)+(n-2)C(n-2,n)+……+0*C(0,n)
=nC(0,n)+(n-1)C(1,n)+(n-2)C(2,n)+……+0*C(n,n)
故2S=n[C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+……+C(n,n)]=n*2^n
S=n*2^(n-1)

根据以上，当p=1,q=0时符合题意，即存在bn=n，使使an=b1C上标1下标n+b2C上标2下标n+…+bnC上标n下标n对一切正整数n均成立。