Question

求微分方程y'－ycotx＝cscx的通解

Answer 1

要求微分方程的通解，我们可以使用常数变易法来解决。
给定微分方程：y' - y cot(x) = csc(x)
首先，我们假设解为 y = v(x) * u(x)，其中 v(x) 是 x 的函数，u(x) 是未知的函数。
将这个假设代入微分方程中，我们可以得到：
v'(x) * u(x) - v(x) * u(x) * cot(x) = csc(x)
接下来，我们需要选择适当的函数 u(x) 使得上述方程变得容易求解。在这种情况下，我们可以选择 u(x) = sin(x)，这样我们可以得到：
v'(x) * sin(x) - v(x) * sin(x) * cot(x) = 1
接下来，我们可以对上述方程进行简化：
v'(x) * sin(x) - v(x) * cos(x) = 1
这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用常见的线性微分方程求解方法来解决它。首先，将上述方程改写为标准形式：
v'(x) * sin(x) = v(x) * cos(x) + 1
然后，我们可以使用分离变量的方法将其分开：
v'(x) / (v(x) + 1) = cos(x) / sin(x)
继续进行积分，我们可以得到：
ln|v(x) + 1| = ln|sin(x)| + ln|C|
其中，C 是积分常数。
接下来，我们可以将上述方程改写为指数形式：
|v(x) + 1| = |C * sin(x)|
现在，我们可以得到 v(x) 的两种情况：
1. v(x) + 1 = C * sin(x)
2. v(x) + 1 = -C * sin(x)
分别求解这两个方程，我们可以得到 v(x) 的表达式。
1. v(x) = C * sin(x) - 1
2. v(x) = -C * sin(x) - 1
因此，微分方程的通解可以表示为：
y(x) = v(x) * u(x) = (C * sin(x) - 1) * sin(x)
这就是给定微分方程的通解。其中，C 是任意常数。

Answer 2

首先将微分方程化为标准形式：
y' - ycotx = cscx
这是一个一阶线性微分方程，应该使用常数变易法求解。设通解为 y = uv，其中 u 是一个待定函数，v 是 y 的导函数。则有：
y' = u'v + uv'
将 y = uv 带入原方程得：
u'v + uv' - uv cotx = cscx
移项化简得：
v' = (cscx/u) - v cotx/u
这是一个关于 v 的一阶线性微分方程。将 u 看作常数，利用常用的线性微分方程求解方法，得：
v = Cu + (1/u)∫(cscx/u)sinx dx
其中 C 是任意常数。利用三角恒等式化简得：
v = Cu + ln|sinx/u| + ln|c|
将 y = uv 带回，得到完整通解：
y = Cu^2 + ln|sinx| + ln|c|u
其中 C 和 u 均为任意常数。