Question

关于物理万有引力与航天的问题

对近地卫星,同步卫星以及在地球表面赤道上的物体的受力以及运动速度，周期，轨道半径的分析

求各位大师们帮忙分别阐述一下，感激不尽！！！

Answer 1

首先你要理解卫星运动中的受力情况。
卫星的受力模型，可以分为两个独立的力学部分来理解。
第一部分，是地球与卫星之间的万有引力。你肯定知道万有引力的公式，F=GMm/r²。这个公式可以直观地说明，卫星与地球距离越近（原则上是指到地球心的距离），该力越强，距离变远，则引力随之减小。万有引力作用在卫星上的方向是指向地球。
第二部分，是维持卫星绕地球旋转的向心力。你肯定也了解物体在受力平衡的情况下只能静止或者做匀速直线运动，若要使之做围绕一个中心均匀改变方向的圆周运动，必然有一个朝向圆心的力，来产生一种加速度，这种加速度的特点是时刻与运动方向垂直，即使该物体不断改变方向做圆周运动。这种向心力可以用做圆周运动的物体的运动情况计算出来，即F=mv²/r,其中v是圆周运动的速率值，r是所绕的圆的半径。

卫星的运转过程就是这两个受力的统一，即万有引力提供了这份向心力，地球对卫星的吸引作用不断使向前运动的卫星无法离开地球，只能绕地球旋转。你可以做一个更普遍的设想，比如一颗正常绕地球运动的卫星速度增大了，速度是V1，即向心力忽然变大，会怎么样？答案是它肯定会远离地球，但是逆着地球重力作用飞行会使它的运动速度变小，所以该卫星会最终停留在一个更高的轨道上重新做圆周运动，V1若太大，更高的轨道依然约束不住它，它会永远地离开地球。假如一颗正常绕地球运动的卫星因撞击等原因速度减小，变为V2，即向心力忽然变小，又会怎么样？答案是卫星会受重力作用落向地球（当然这种降落之前是有一个初速度的，所以不会是垂直降落，而是绕着圈降落），但是随着降落，重力对卫星做正功，卫星的速度会一点点变大，卫星会在一个更低的轨道上再次稳定下来。如果速度一直不够大，就只能落向地面。

地球周围的卫星，是可以处在不同的高度上的，但是有一个必然的规律就是，同一个轨道高度上运转的卫星，因为万有引力作用产生的加速度是一致的——该加速度即GM/r²，所以旋转过程的加速度（v²/r）也是相同的，所以圆周运动的速度v也是被确定的，即同一轨道上的卫星，运动速率是相同的。而随着轨道高度的增加，从上面的公式可以看出，卫星的轨道速度会减小。概括起来就是，越高的卫星，转得越慢，近地卫星是最快的。但是尽管越低的卫星转得越快，但是它的机械能也最低，因为要升高轨道，还需要有外界的正功，就像上一段说所的过程。高的卫星虽然动能减小，但是重力势能增大很多，还是需要更有力的火箭才能推上去。

F=GMm/r²=mv²/r，所以GM/r²=v²/r v²=GM/r 这就是卫星的运动速率的大小，其中M是地球质量，r是卫星到地心的距离，G 是引力常数。

而卫星运动周期就容易求了，在知道r的情况下，卫星旋转的圆的周长S=2πr²，周期T=S/v。

显然，卫星运动半径不可能比地球半径还要小，所以当r=R（地球半径）时，计算出来的V就是近地卫星的速度，也是卫星能上天最起码要达到的速度。

现在说说同步卫星。
卫星的运动必然都是绕着地球，而且也必须都是以地心为运动的圆心，但并不是与赤道平行。同步卫星需要满足两个条件，一是旋转的角速度等于地球自转的角速度（即单位时间内绕过的弧度大小，ω=v/r）。从上面对高度与速度的关系的分析可以看到，同步卫星只能存在于一个特殊的高度上，低于这个高度，会转的太快，高于的话又会转的过慢，都无法和地球自转同步。这个合适的高度大概是地球半径的六倍。二是这个卫星必须是绕着赤道转的，这样从地球上观察时才能看上去像一直悬在赤道某点的上空。

假如地球赤道表面放着一个静止的物体，它受到的力有重力和地球表面的支持力。而重力即地球对它的万有引力。当它沿着赤道运动时，一部分重力会被分为维持它旋转的向心力，因而它对地球的压力会变小，地球对它的反作用力（即支持力）也会变小。但是正常情况下，我们日常的走路或开车的速度都太小，这个过程中受力的变化时体现不出来的。当绕赤道运动的速度足够大以至于重力必须全部用来维持它的圆周运动的时候，它就可以不再和地球表面有接触，就成了一颗临界的近地卫星。这个速度V是GM/R的平方根， R此时为地球半径。而这个速度，就是卫星能上天所能必须超越的第一宇宙速度。

如果该物体的初始速度更大，地球引力不足以维持它绕地球运动的向心力，它会像上面说的那样继续升高，但是最终会在一个更高的轨道上稳定下来。而如果这个速度太大，以至于在远离地球的过程中离心作用一直超过地球的引力，那它就会永远地远离地球。这样的临界速度，被称为第二宇宙速度。

Answer 2

近地卫星和同步卫星同属于卫星，它们在轨运行时只受万有引力作用，根据万有引力提供向心力，即：
GMm/r2=mv2/r即得速度与半径关系，v=根号GM/r,半径越大线速度越小
向心力公式用周期表示就可以得到周期与半径关系了,半径越大周期越大(省略了哦）
赤道物体只能先和同步卫星比较，它们有相同的角速度ω
由v=ωr,半径越大线速度越大,T=2π/ω,周期与半径无关,都相等.