Question

求线性代数解题过程

Answer 1

二次型f及其标准形的矩阵分别为
A =
2 0 0
0 a 1
0 1 0
B =
2 0 0
0 b 0
0 0 -1
由A与B的行列式相同, |A|=-2 = -2b = |B|, 所以b=1
由A与B的迹相同, 得 tr(A) = 2+a = 2+b-1 = tr(B), 所以 a=0.
所以A=
2 0 0
0 0 1
0 1 0
且A的特征值为 2, 1, -1

(A-2E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T
(A-E)x=0 的基础解系为 a2=(0,1,1)^T,
(A+E)x=0 的基础解系为 a3=(0,1,-1)^T,
单位化后即构成矩阵P.

Answer 2

二次型f对应矩阵
A=[2 0 0
0 a 1
0 1 a ]
重标准型可以看出A的三个特征值为2,b,-1
-1为A特征值
所以|E+A|=3[(a+1)²-1]=0 解得a=0或-2
当a=0 A的三个特征值为2,1,-1 ,所以b=1
对应P矩阵为三个特征向量（单位化以后的），自己求

当a=-2 A的三个特征值为2,-3,-1 ,所以b=-3
对应P矩阵为三个特征向量（单位化以后的），自己求

两种情况P矩阵是类似的，只是第二列、第三列换了次序
题若要求b>0