Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,证明:对任的x∈【-1,1】，2ax+b的

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,证明:对任的x∈【-1,1】，2ax+b的绝对值≤4，详细点

Answer 1

由函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1，有：
|f(1)| ≤1， |f(-1)|≤1 ，| f(0)|≤1， 即
|a+b+c|≤1 |a-b+c|≤1 |c|≤1
1≥|a+b+c|≥|a+b|-|c| ， |a+b|≤1+|c|≤1+1=2，即 ：|a+b|≤2
-2≤a+b≤2 .............................. ①
同理 |a-b|≤2，
-2≤a-b≤2 ...............................②
(3/2)×①+(1/2)×②
-4≤2a+b≤4
(1/2)×①+(3/2)×②
-4≤2a-b≤4
-4≤-2a+b≤4
令g(x)=2ax+b,x∈[-1,1]，则g(x)是一个单调函数，a>0时，是增函数，a<0时是减函数，
a>0时，g(1) 为最大值2a+b, g(-1)为最小值-2a+b，即 -2a+b≤g(x)≤2a+b
-4≤-2a+b≤g(x)≤2a+b≤4
a<0时，g(1) 为最小值2a+b, g(-1)为最大值-2a+b，即2a+b≤g(x)≤-2a+b
-4≤2a+b≤g(x)≤-2a+b≤4
|g(x)|=|2ax+b|≤4.