Question

已知函数f（x）=Asin（wx+φ），x∈R(其中A＞0，w＞0,0＜φ小于π/2）的图像与X轴的交点中，

相邻2个交点之间的距离为π/2，且图像上一个最低点为M（2π/3，-2）
求（1）函数f（x）的解析式
（2）当x∈[π/12，π/2]，求f（x）的最值

Answer 1

（1）、由题可知A=2 （极值为±2）
T=2π/IwI=2π/[2×（π/2）]=2
∴f（x）=2sin（2x+φ）
代入M（2π/3，-2）解得φ=π/6
∴f（x）=2sin（2x+π/6）
（2）、当x∈[π/12，π/2]
f（x）min=f（π/2）=-1
f（x）max=f（π/6）=2
（括号2最好利用五点画图，结合图形算极值）

Answer 2

(1)可以看出该函数是关于x轴对称的，图像与x轴之间的相邻焦点的距离是周期的一半，所以T=2π/ω=π,所以ω=2，图像关于x轴对称，而一个最低点如上，A>0，所以A=2.将A，ω的值代入函数，再代入M点，可以得出2x2π/3+φ=-π/2+2kπ (k∈Z),φ=-11π/6+2kπ,即φ=π/6+2kπ,(k∈Z),又因为0<φ<π/2,所以φ=π/6。
所以，函数为f(x)=2sin(2x+π/6),当x∈[π/12，π/2]，(2x+π/6)∈[π/3,7π/6],将（2x+π/6)看成整体，记为u，所以，当u=π/2,x=π/6时，函数有最大值为2