求微分方程 y`+y=e^x+x 的通解.(20,数一)
接下来，我们需要求解齐次线性微分方程 y'+y=0 的通解。这个方程的特征方程为 r+1=0，因此其通解为 y=C*e^(-x)，其中C为常数。
接着，我们需要求非齐次线性微分方程 y'+y=e^x+x 的一个特解。我们可以猜测这个特解可能是一个一次多项式 Ax+B，其中A和B是待定系数。
将这个猜测代入非齐次微分方程得到：
(A+1)x+(B-A)=e^x
比较等号两侧的系数可得 A=1, B=1，因此这个特解为 y_p=x+1。
所以原非齐次线性微分方程的通解为 y=y_h+y_p=C*e^(-x)+x+1，其中C为任意常数。
😳问题 : 求微分方程 y'+y=e^x+x 的通解
👉微分方程
微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度
👉微分方程的例子
『例子一』 dy/dx =x
『例子二』 dy/dx =xy
『例子三』 y''-3y'+2y =x
👉回答
y'+y=e^x +x
p(x) = 1
e^[∫ p(x) dx] = e^x
两边乘以 e^x
e^x.(y'+y)=e^(2x) +x.e^x
d/dx ( e^x.y) = e^(2x) +x.e^x
两边取积分
e^x.y
=∫[ e^(2x) +x.e^x] dx
=(1/2)e^(2x) + ∫x de^x
=(1/2)e^(2x) + xe^x -∫e^x dx
=(1/2)e^(2x) + xe^x -e^x +C
整理方程
y=(1/2)e^x + x -1 +C.e^(-x)
得出结果
y=(1/2)e^x + x -1 +C.e^(-x)
😄: 微分方程 y'+y=e^x+x 的通解 ：y=(1/2)e^x + x -1 +C.e^(-x)
