Question

设数列{an}满足a1=a，a（n+1）=an的平方+a1，令M={a∈R||an|≤2，n∈N*}．

（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a不属于M；
（2）当a∈（0，1/4 ]时，求证：an∈M；

重要的是第二问的思路，请详细分析第二问！！！

Answer 1

（1）当a<-2即a∈(-∞，-2)时，|a1|=|a|>2；a1不属于M；
|a2|=|a1^2+a1|=|a1*(a1+1)|>|a1|>2；a2不属于M
假定|an|>2，an不属于M；用归纳法可以证明，
|a(n+1)|=|an*an+a1|>|2*2+a1|>2；所以a(n+1)不属于M；
该问其实就只是要求证明在给定条件下对任意整数n，都有an>2，从而不在M范围内；
（2）0<a1≦1/4时，即当a∈(0，1/4 ]时，|a1|=a≦1/4<2，a1属于M；
|a2|=a1^2+a1≦(1/4)^2+a1≦1/16+1/4=5/16<1/2<2，a2属于M；
|a3|=a2^2+a1<(1/2)^2+a1≦1/4+1/4=1/2<2，a3属于M；
假定|an|<1/2，属于M；则利用归纳法，
|a(n+1)|=an^2+a1<(1/2)^2+a1<1/4+1/4=1/2<2，则a(n+1)属于M；
该问其实要求证明在给定条件下对任意整数n，都有an<2（实际上an<1/2)，从而an均在M范围内。

追问

“假定|an|<1/2，属于M；则利用归纳法”
为什么假定的是|an|<1/2，而不是an<2，是怎么想到的？
“实际上an<1/2”
为什么你事先就知道实际上是an<1/2的？

追答

an<1/2是从实际推导过程知道的。a1≦1/4为给定条件，由此推得a2<1/2，然后才能推出a3、a4<1/2；在此基础上才假定an<1/2，归纳出an+1<1/2，并非我一开始就知道an<1/2。如果本问将M域范围改为M{|an|≦1/2,n∈N，a∈R}是不是容易理解些。

追问

妙哉！
鄙人冒昧问一下，你是一眼就看出来的还是当场推算出来的？
还有你如此熟练想必你做过此题或是做过此类的题？
你乃何方神圣？

追答

想多了。
是在推导过程中，发现仅用>2这么简单处理无法保证往下推导正确和持续，用初始1/4、1/2数据能够解决而又不违反题给限制。题目可能也会故意做些障眼法麻痹人。

追问

妙哉

Answer 2

证明: (1)如果 a<2 ,则 a1 =| a |>2 , 所以a不属于m (2) 当 0<a ≤1/4 时, an ≤1/2( n ≥ 1 ) . 事实上, 当 n = 1 时, a1 = a ≤ 2. 设 n = k 1 时成立( k ≥ 2 为某整数) , 则对 n = k , ak ≤ ak 1 + a ≤ + = . 由归纳假设,对任意 n∈N ﹡,|an|≤ 1/2＜2。所以a属于m

追问

为什么你事先就知道an ≤1/2，而不是an＜2？？？