Question

△ABC中,AB＞AC,BC的⊥平分线DF交△ABC的外角平分线AD于点D, DE⊥AB,垂足为E.则BE. AC.AE有什么数量关系？

即 八上数学 课时训练 课标人教版 第25页 第15题

Answer 1

BE＝AE+AC
证明：过点D作DG⊥AC交CA的延长线于点G，连接DB、DC
∵DF垂直平分BC
∴DB＝DC
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CGD＝90
∵AD平分∠BAG
∴DE＝DG，AE＝AG
∴△BED≌△CGD （HL）
∴CG＝BE
∵CG＝AG+AC
∴CG＝AE+AC
∴BE＝AE+AC

追问

那 P35 第15题呢？

追答

哦，我没有书的，你得把题目写出来

追问

已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为BC的中点。
（1）E.F分别是AB.AC上的点，且BE=AF.求证：△DEF为等腰三角形
（2）若E.F分别为AB.CA延长线上的点，仍有BE=AF,其它条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论。

追答

1、证明：连接AD
∵∠BAC＝90,AB＝AC
∴∠B＝∠C＝45
∵D是BC的中点
∴AD＝BD＝CD （直角三角形中线特性）、∠BAD＝∠CAD＝∠BAC/2（三线合一）
∴∠CAD＝∠B
∵BE＝AF
∴△BDE≌△ADF （SAS）
∴DE＝DF
∴等腰△DEF
2、证明：连接AD
∵AB＝AC，D是BC的中点
∴∠BAD＝∠CAD （三线合一）
∵∠DAF＝∠BAF+∠BAD，∠DAE＝∠CAE+∠CAD，∠BAF＝∠CAE（对顶角相等）
∴∠DAF＝∠DAE
∵AE＝BE-AB，AF＝CF-AC，BE＝CF
∴AE＝AF
∴△DAE≌△DAF （SAS）
∴DE＝DF
∴等腰△DEF

追问

第一题是 求证：△DEF为等腰“直角”三角形

追答

1、证明：连接AD∵∠BAC＝90,AB＝AC∴∠B＝∠C＝45∵D是BC的中点∴AD＝BD＝CD （直角三角形中线特性）、∠BAD＝∠CAD＝∠BAC/2，AD⊥BC（三线合一）∴∠CAD＝∠B，∠ADE+∠BDE＝90∵BE＝AF∴△BDE≌△ADF （SAS）∴DE＝DF, ∠ADF＝∠BDE∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝∠ADE+∠BDF＝90∴等腰直角△DEF2、证明：连接AD∵AB＝AC，D是BC的中点∴∠BAD＝∠CAD （三线合一）∵∠DAF＝∠BAF+∠BAD，∠DAE＝∠CAE+∠CAD，∠BAF＝∠CAE（对顶角相等）∴∠DAF＝∠DAE∵AE＝BE-AB，AF＝CF-AC，BE＝CF∴AE＝AF∵AD＝AD∴△DAE≌△DAF （SAS）∴DE＝DF∴等腰△DEF

Answer 2

相等