Question

(cosa-cosb)/(sinb-sina)=tan((a+b)/2)?如何使用和差公式推之？

Answer 1

∵cosa

＝cos［（a＋b）/2＋（a－b）/2］

＝cos［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］－sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］

cosb

＝cos［（a＋b）/2－（a－b）/2］

＝cos［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＋sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］

sina

＝sin［（a＋b）/2＋（a－b）/2］

＝sin［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＋cos［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］

sinb

＝sin［（a＋b）/2－（a－b）/2］

＝sin［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］－cos［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］

∴cosa－cosb＝－2sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］。

sinb－sina＝－2cos［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］。

上述两式相除，得：

（cosa－cosb）/（sinb－sina）＝sin［（a＋b）/2］/cos［（a＋b）/2］＝tan［（a＋b）/2］

扩展资料：

和差公式：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan (A+B)=(tan A+tan B)/(1-tan A*tan B)

tan (A-B)=(tan A-tan B)/(1+tan A*tan B)

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值。

1、当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；

2、当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

三角和公式：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

参考资料来源：百度百科——三角函数公式

Answer 2

∵cosa
＝cos［（a＋b）/2＋（a－b）/2］
＝cos［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］－sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］。

cosb
＝cos［（a＋b）/2－（a－b）/2］
＝cos［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＋sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］。

sina
＝sin［（a＋b）/2＋（a－b）/2］
＝sin［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＋cos［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］。

sinb
＝sin［（a＋b）/2－（a－b）/2］
＝sin［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］－cos［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］。

∴cosa－cosb＝－2sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］。
　sinb－sina＝－2cos［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］。
上述两式相除，得：
（cosa－cosb）/（sinb－sina）＝sin［（a＋b）/2］/cos［（a＋b）/2］＝tan［（a＋b）/2］。

Answer 3

(cosa-cosb)/(sinb-sina)
= -2sin[(a+b)/2] sin[(a-b)/2]/{2cos[(a+b)/2] sin[(b-a)/2]}
=sin[(a+b)/2]/cos[(a+b)/2]
=tan[(a+b)/2]