Question

f'（0）＝0怎么来的？

Answer 1

f'(0)=0这个结论来自于导数的定义。导数的定义为:f'(x) = lim_(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h这意味着,导数是曲线在某点切线的斜率。当x=0时,也就是说我们要计算f(x)在x=0这个点的切线斜率。根据上述的导数定义公式,在x=0时应将公式化为:
f'(0) = lim_(h->0) (f(h) - f(0)) / h因为当x=0时,f(0)就是定值(实际函数f中x=0时的y值),所以:
f'(0) = lim_(h->0) f(h) / h (由于f(0)是定值,可以从上下两端同时减去)当h趋近于0时,f(h)也会趋近于定值f(0)。那么整个式子lim_(h->0) f(h) / h的值就会趋近于f(0)/0。而任何值/0都是未定义的(无限大或无限小),所以可以得出结论:
f'(0)=lim_(h->0) (f(h) - f(0)) / h = lim_(h->0) f(h) / h = f(0) / 0 = 未定义为了解决这个未定义,我们定义导数f'(x)的初值为lim_(x->0^-) f'(x)和lim_(x->0^+) f'(x)。
通常情况下,lim_(x->0^-) f'(x) = lim_(x->0^+) f'(x),所以我们可以写为:f'(0) = lim_(x->0)f'(x)如果f(x)在x=0处具有左右极限,且左右极限相等,那么f'(0)的初值定义为这个极限值。我们可以表示为:
f'(0)= lim_(x->0^-) f'(x) = lim_(x->0^+) f'(x)如果f(x)在x=0处不存在左右极限,或者左右极限不相等,那么f'(0)的初值无法定义。综上,f'(0)=0这个结论来自于导数在定义域的连续性。当导数f'(x)在x=0的左右极限存在且相等时,我们把这个极限值定义为f'(0)的初值。这就是导数在初值为0的点连续的来源。希望这个说明可以帮助您理解f'(0)=0的来源与含义。