Question

已知函数f(x)=e^x-lnx,求证f(x)>34/15？

Answer 1

首先，我们可以对f(x)求导数，得到：
f'(x) = e^x - 1/x
对f(x)求极值，令f'(x) = 0，解出：
e^x = 1/x
两边同时乘以x，得到：
xe^x = 1
这个方程的解可以用Lambert W函数表示为：
x = W(1)
其中W(x)是Lambert W函数。近似地，我们有W(1) ≈ 0.5671。
我们需要证明的是f(x) > 34/15。当x > 1时，e^x > x，因此：
f(x) = e^x - ln(x) > x - ln(x) > 1 - ln(1) = 0
当x < 1时，x > e^x，因此：
f(x) = e^x - ln(x) > e^x - 1 > e - 1 > 1.718 - 1 > 0.718
因此，对于所有的x，f(x) > 0.718。又因为f(W(1)) = e^(W(1)) - ln(W(1)) > e^(W(1)) - ln(e^(W(1))) = W(1) > 0.5671，所以：
f(x) > f(W(1)) > 0.5671
因此，f(x) > 0.5671 > 34/60 = 17/30 > 34/15。
因此，我们证明了f(x) > 34/15。