Question

已知函数y=sin²x+2sinxcosx-3cos²x,x属于R （1）求函数的最小正周期 （2）求函数的最大值

第二小题化简部分有一个地方不明白，有人能把过程写出来，再解释一下吗？

Answer 1

解：y=sin^2-cos^2x+sin2x-2cos^2x
=sin2x-cos2x-2cos^2x+1-1
=sin2x-cos2x-(2cos^2x-1)-1
=sin2x-2cos2x-1
=√1^2+(-2)^2sin（2x+α）-1
=√5sin（2x+α）-1（这个α不需要知道是多少）
周期T=2π/2=π
（2）化简过程在上面
当sin（2x+α）=1时敬知，
ymax=√5-1
不懂，请者稿陪追问，首蠢祝愉快O(∩_∩)O~
补充一下知识asinx+bsinx=√（a^2+b^2）sin(x+α)

追问

嗯，我想问2cos^2x这个是怎么来的，不会
还有=√5sin（2x+α）-1这个为什么是√5 ，其实 √其他数应该也可以化简吧，为什么是√5

追答

cos^2x就是cos²x，
楼主应该是不懂第一步吧？

y=sin^2-cos^2x+sin2x-2cos^2x (原本是-3cos^2x拆成-cos^x和-2cos^2x注意看sin^2x后面也有个cos^2x就明白 了)

是（√5）×sin（2x+α）

就如asinx+binx想把他们化解的话

Answer 2

y=(1-cos2x)/2 + sin2x - 3(1+cos2x)/2
=sin2x -2cos2x -1
= √5[(√5/5)sin2x -(2√5/5)cos2x] -1
令 cosφ=√5/5，sinφ=2√5/5，
则y=√前饥5(sin2xcosφ - cos2xsinφ) -1
=√5sin(2x-φ) -1
从而
（1）最慧困返小正周期为T=2π/尺察2=π，
（2）最大值为 √5 -1