Question

有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，

连结PQ，求PQ

Answer 1

设BQ交PC于点E

因为正方形的面积是1，所以边长是1

因为M、N分别是AD、BC的中点，所以MN⊥BC，MN平分BC

因为点C沿BQ折叠后落到点P位置，所以BP=BC，∠QPC=∠QCP，∠BEP=∠BEC=90°

因为点P在MN上，MN垂直平分BC，所以BP=CP

所以BP=CP=BC=1，△BPC是等边三角形，所以∠BCP=60°，PE=0.5

因为正方形ABCD中∠BCD=90°，所以∠QCP=∠BCD－∠BCP=∠90°-60°=30°

所以∠QPC=∠QCP=30°

在Rt△PQE中，∠QPC=30°，所以PQ=2QE，由勾股定理可得

PQ的平方=QE的平方+PE的平方，即

（2QE）的平方=QE的平方+0.5的平方

所以QE的平方=12分之1

所以QE=6分之（根号3）

所以PQ=2QE=3分之（根号3）

Answer 2

解:∵BP=BC;BN=CN.
∴BN=BP/2,故∠BPN=30°,∠PBC=60°.
∴∠PBQ=∠CBQ=30°,BQ=2PQ.
故PB=√(BQ^2-PQ^2)=√(4PQ^2-PQ^2)=√3PQ.
即1=√3PQ,PQ=√3/3.

Answer 3

∵BP=BC;BN=½BC
∴∠BPN=30°;∠PBN=60°
BQ平分∠MBN∴∠QBC=30°
设QC=X;那么BQ=2X
根据勾股定理
1²+X²=﹙2X﹚²
X=根号3分之1
PQ=QC=根号3分之1