Question

求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得（a-b)（c-d）（e-f）是105的倍数。

学而思的思考题

Answer 1

由于整数除以7的余数为0,1,2,3,4,5,6，
所以据抽屉原理，
（1）在任意的8个自然数中，必有两个除以7的余数相同，不妨设为a，b，从而 a-b是7的倍数；
（2）在剩余的6个自然数中，它们除以5的余数可能是为0,1,2,3,4，所以必有两个除以5的余数相同，不妨设为c，d，从而 c-d是5的倍数；
(3）在剩余的4个自然数中，它们除以3的余数可能是为0,1,2，所以必有两个除以3的余数相同，不妨设为e，f，从而 e-f是3的倍数；
由于105=3×5×7，
从而 （a-b)（c-d）（e-f）是105的倍数。

Answer 2

证明：7的剩余系为{0,1,2,3,4,5,6}有7个数
任意8个数必有两个对于7剩余相同
设为a，b，则7|(a-b)
同理：5的剩余有5个数
剩下8-2=6个数必有两个对于5剩余相同
设为c,d，则5|(c-d)
对于3的剩余同理可得
有两个数对3剩余相同
设为e,f，则3|(e-f)
∴105=3*5*7|(a-b)(c-d)(e-f)
∴结论成立

Answer 3

105=3*5*7，应该从中间的任意两数之差可能为3、5、7着手去考虑。
此题可能有问题，应该是8个连续的自然数哟。
如果这八个数都是奇数的话，就不成立了。