Question

已知实数x>0,y>-1且满足x+4y=3,则16/x+2+1/y+1的最小值？

Answer 1

要求表达式的最小值，我们可以使用求导的方法。首先，将表达式整理一下：
f(x, y) = 16/x + 2 + 1/y + 1
根据已知条件 x + 4y = 3，我们可以解出 y = (3 - x)/4，并将 y 替换掉表达式中的 y。
f(x) = 16/x + 2 + 1/((3 - x)/4) + 1
= 16/x + 2 + 4/(3 - x) + 1
现在，我们需要求出函数 f(x) 的最小值。首先，找到函数 f(x) 的导数 f'(x)：
f'(x) = d/dx (16/x) + d/dx (4/(3 - x))
对 16/x 求导得到：d/dx (16/x) = -16/x^2
对 4/(3 - x) 求导得到：d/dx (4/(3 - x)) = 4/(3 - x)^2
将两部分导数相加得到 f'(x)：
f'(x) = -16/x^2 + 4/(3 - x)^2
为了找到最小值，我们需要找到使得 f'(x) = 0 的点。解方程：
-16/x^2 + 4/(3 - x)^2 = 0
得到 x = 2。
接下来，我们需要检查 x = 2 是否是局部极小值点。我们可以使用二阶导数测试。对 f'(x) 求导得到 f''(x)：
f''(x) = d/dx (-16/x^2) + d/dx (4/(3 - x)^2)
对 -16/x^2 求导得到：d/dx (-16/x^2) = 32/x^3
对 4/(3 - x)^2 求导得到：d/dx (4/(3 - x)^2) = 16/(3 - x)^3
将两部分导数相加得到 f''(x)：
f''(x) = 32/x^3 + 16/(3 - x)^3
将 x = 2 带入 f''(x) 的值为：
f''(2) = 32/2^3 + 16/(3 - 2)^3
= 32/8 + 16/1
= 4 + 16
= 20
因为 f''(2) > 0，所以 x = 2 是 f(x) 的局部极小值点。
接下来，我们需要检查边界点和可能的间断点。已知 x > 0 和 y > -1，所以 x 不可能等于 0 或 3。因此，边界点只有 x = 0 和 x = 3。
首先，我们来检查 x = 0 的情况：
f(0) = 16/0 + 2 + 4/(3 - 0) + 1
= 正无穷大
接下来，我们来检查 x = 3 的情况：
f(3) = 16/3 + 2 + 4/(3 - 3) + 1
= 16/3 + 2 + 正无穷大
因为 f(x) 在 x = 0 和 x = 3 时趋向于无穷大，而 x = 2 时有局部极小值，所以最小值就是局部极小值：
f(2) = 16/2 + 2 + 4/(3 - 2) + 1
= 8 + 2 + 4 + 1
= 15
因此，16/x + 2 + 1/y + 1 的最小值为 15，当 x = 2 时取得。