Question

一道五年级数学题

有101枚硬币，其中100枚质量相同，另一枚是假币，现在不知道假币比真币重还是轻。（1）利用天平，至少称几次就一定可以判断出假币比真币重还是轻？ （2）至少再称几次就一定能找出那枚假币?

Answer 1

因为两道问题都是问至少的情况，所以有如下思路：
（1）至少三次一定可以判断：
①天平两端各放50枚硬币（都是真币），则剩余的就是假币，任取真币中的一枚和其比较即可判断出假币比真币重还是轻。（两次）
②天平两端各放50枚硬币（其中有假币），会向一侧倾斜，取其中一侧的50枚硬币 （有假币），在天平两端各放25枚硬币，天平不平衡，说明其中有假币，再取其中25枚（记住是偏高还是偏低的一侧）与另一侧的25枚的真币相比。
天平平衡，说明都是真币，如果取得这一侧是偏高的，说明假币比真币重；反之，如果取得这一侧是偏低的，说明假币比真币轻。
天平不平衡，如果取得这一侧是偏低的，说明假币比真币重；反之，如果取得这一侧是偏高的，说明假币比真币轻。（三次）
③天平两端各放50枚硬币（其中有假币），会向一侧倾斜，取其中一侧的50枚硬币 （都是真币）（记住是偏高还是偏低的一侧），在天平两端各放25枚硬币，天平平衡，说明都是真币。
如果取得这一侧是偏高的，说明假币比真币重；反之，如果取得这一侧是偏低的，说明假币比真币轻。（两次）
（2）至少十次一定可以判断：
①天平两端各放50枚硬币（都是真币），则剩余的就是假币，任取真币中的一枚和其比较即可判断出假币比真币重还是轻。（两次）
②这个是最麻烦的一种（十次）：
天平两端各放50枚硬币（其中有假币），会向一侧倾斜，取其中一侧的50枚硬币 （都是真币），在天平两端各放25枚硬币，天平平衡，说明都是真币。
取另一侧含假币的，天平两端各放12枚硬币（其中有假币），会向一侧倾斜，取其中一侧的12枚硬币 （都是真币），在天平两端各放6枚硬币，天平平衡，说明都是真币。
取另一侧含假币的，天平两端各放6枚硬币（其中有假币），会向一侧倾斜，取其中一侧的6枚硬币 （都是真币），在天平两端各放3枚硬币，天平平衡，说明都是真币。
取其中一侧的3枚中的任2枚（都是真币），称两次可判定都是真币，取另一侧的3枚中的任2枚，不平衡则取其一与3枚中剩下的那枚真的称，不平衡则是假的，平衡则另一枚是假的。

这一问有很多种情况我就不再多说了。。。。。。打字很累的，求理解O(∩_∩)O~

真要是真实生活中来称，这人也忒倒霉了。。。。。。

Answer 2

1、至少称4次。 先称出101枚的总质量为M，再任意选3枚，将这3枚每一枚都称一下，将这每一枚的质量均乘以101，分别记为A、B、C，如果A、B、C均大于（或小于）M，则这三枚均是真币，那自然能得出真币比假币重（或轻）；如果A、B、C中有两个大于（或小于）M ，一个小于（或大于）M，那两个自然是真币，那一个是假币，这也能得出真的重还是假的重。注意如果选2枚称，它们一个质量的101倍如果均大于（或小于）M，那好说，如果一个大于M，一个小于M，那就得再选一个称。所以至少称4次。
2、在第一问基础上假设假币重，先算出101枚总质量单个平均质量为a，再把101枚分作50个一堆，51个一堆，把这两堆分别称一下，算出这两堆中每一堆单个的平均质量记为b、c，则假币一定在b、c中大于a的那一堆中；再把这一堆分为相等（或近似相等）的两堆（假币在50中分作25、25；如果在51中则分作25、26）把这两堆分别称一下，算出两堆平均单个质量，同样假币一定在平均单个质量大的那一堆中；…… 按这种称法，这前边总共得称2＋2＋2＋2＋2＝10次，假币可能在最后剩余的3个中或者4各中。要最后称出假币，再称3次就能称出假币，所以总共得称13次就能称出假币。

Answer 3

、 至少称4次。 先称出101枚的总质量为M，再任意选3枚，将这3枚每一枚都称一下，将这每一枚的质量均乘以101，分别记为A、B、C，如果A、B、C均大于（或小于）M，则这三枚均是真币，那自然能得出真币比假币重（或轻）；如果A、B、C中有两个大于（或小于）M ，一个小于（或大于）M，那两个自然是真币，那一个是假币，这也能得出真的重还是假的重。注意如果选2枚称，它们一个质量的101倍如果均大于（或小于）M，那好说，如果一个大于M，一个小于M，那就得再选一个称。所以至少称4次。
2、 在第一问基础上假设假币重，先算出101枚总质量单个平均质量为a，再把101枚分作50个一堆，51个一堆，把这两堆分别称一下，算出这两堆中每一堆单个的平均质量记为b、c，则假币一定在b、c中大于a的那一堆中；再把这一堆分为相等（或近似相等）的两堆（假币在50中分作25、25；如果在51中则分作25、26）把这两堆分别称一下，算出两堆平均单个质量，同样假币一定在平均单个质量大的那一堆中；…… 按这种称法，这前边总共得称2＋2＋2＋2＋2＝10次，假币可能在最后剩余的3个中或者4各中。要最后称出假币，再称3次就能称出假币，所以总共得称13次就能称出假币

Answer 4

称量两次即可判断出假币的轻重；
第一次 50:50
第二次 如果第一次重量相等，则假币是另外的一个，再称一次即可知道其轻重；
如果第一次重量不等，则将重的（选轻的也可以）分为两组，每组25个进行称量，如果相等则假币轻，且假币在第一次称量的另一组50的中，如果不等则说明假币重，在本次称量中重的这一组中。

第二问不是个好问题，也比较复杂，而且如果要找假币也可能不是这样的找法，比较经典的问题是那个12个小球的问题。
有12个外观相同的小球，有11个重量相同，另外1个重量不同，且不知轻重，利用一个天平称量3次将重量不同的球找出来，如何称？

Answer 5

把硬币分成50，50，1。
称50与50，如果平衡，则这两堆为真币，剩下的1为假币。再用这个假币和真币称一下得结论。
若不平衡，则1为真币，接着判断假币在哪个堆里面。
取轻的1堆，分成25，25，称重。若平衡则假币在另一堆里面，假币重。
若不平衡，则假币在这一堆中，假币轻。