Question

如图，在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E,连接DF。

求证：（1）角EAD＝角EDA （2）DF//AC （3）角EAC=角B

Answer 1

1.∵EF是AD的垂直平分线
∴AE=DE
∴∠EAD=∠EDA
2.同理AF=FD
∴∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠FAD=∠DAC
∴∠FDA=∠DAC
可得DF∥AC
3.记AC与EF交于M，连接MD
EF是AD的中垂线，AD是FM的角平分线和垂线
∴AFDM为菱形
∴AB∥DM
∠B=∠MDE
又∵△AEM≌△DME(AE=DE EM=EM ∠AEM=∠DEM)
∴∠MDE=∠CAE
∴∠CAE=∠B

Answer 2

⑴∵EF垂直平分AD，∴EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA。

⑵∵EF垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，

∵AD平分∠BCA，∴∠FAD=∠DAC，

∴∠FDA=∠CAD，

∴DF∥AC，

⑶∵∠EAD=∠EDA，

∠EAD=∠CAD+∠EAC，∠EDA=∠B+∠FAD，∠FAD=∠CAD，

∴∠EAC=∠B。

扩展资料：

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长：

ma=(1/2)√2b²+2c²-a² ；

mb=(1/2)√2c²+2a²-b² ；

mc=(1/2)√2a²+2b²-c²

(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对边的中线长）

3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2。

5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。

6.三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段 。

由已知可得CD，BF, AE为△ABC的中线，P为△ABC的重心，∴AP=2/3 AE，CP=2/3 CD，PF=1/2 BP=1/3 BF（重心的性质），延长PF到M。

使PF=FM，于是四边形APCM为平行四边形，∴AM=CP，△APM中：有AP+AM>PM ∴AP+CP>2PF，AP+CP>BP，2/3 AE+2/3 CD>2/3 B。

即AE+CD>BF 同理，AE+BF>CD，BF+CD>AE，　所以得证：三角形中任意两条中线的和大于第三条中线。

参考资料来源：百度百科-三角形中线定理