Question

平面几何题 如图：三角形ABC中，AD=BE=CF。 且三角形DEF 为等边三角形。求证：三角形ABC是等边三角形。

Answer 1

这里用了两个明显的结论①当三角形两边不变时，第三边增大时，第三边对的角也增大。
②当三角形两边不变时，第三边对的角增大时，其余两角都变小。
证明：①设三角形三边为a,b（定量），x(变量）
cos∠C=(a^2+b^2-x^2)/2ab 在（0，π）是增函数，即第三边增大时，第三边对的角也增大。
②设三角形两边为a,b（定量），第三边对的角增大时,另两角必有一个角变小，否则与三角形内角和矛盾，不妨设A变小
因为a/sinA=b/sinB,可得B也变小，即第三边对的角增大时，其余两角都变小。
下面开始证明：
设∠A∠B∠C中∠A最大
∴BC＞AB和AC
∵AD=BE=CF
∴CE＞BD和AF
∴∠CFE＞∠BED和∠ADF
∴∠C＜∠B和∠A
∵∠A∠B∠C中∠A最大
∴∠AFD＞∠CEF和∠BDE
∵∠AFD＋60°=∠C＋∠CEF
∴∠C＞60°
∵∠C是△ABC中最小的角
∴∠C不可能大于60°
∴三个角只能都等于60°
所以△ABC是正三角形

追问

条件没看清

追答

条件没看清?

Answer 2

因为BD=CE=AD ,三角形DEF是正三角形,所以DF=FE=ED
三角形ADF,BED,ECF是相等三角形,>>AD=BE=CF.>>既然AC=AB=BC那么三角形ABC不就是正三角形了吗?自己整理.

两条边相等.顶角为60度.另一边必相等,所以他们三个是全等三角形.
追问【三角形ADF,BED,ECF是相等三角形】
这部你怎么证明的,
回答两条边相等,而且这两条边的夹角都是60度.那么这三个三角形必须是全等的.定律啊.

追问

不对

Answer 3

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